Како изградити интуицију за рекурзију

И како га користити за решавање проблема

Рекурзија је једна од најстрашнијих тема са којима се студенти суочавају у програмирању. Тешко је то разумети, јер људски мозак није способан да врши рекурзију - али рачунари јесу. Управо је због тога рекурзија тако моћан алат за програмере, али то такође значи да је учење њеног коришћења изузетно тешко. Желим да вам помогнем да изградите интуицију за рекурзију како бисте је могли користити за решавање проблема.

Асистент сам у настави на уводном курсу рачунарства на мом универзитету. Рекурзију сам објаснио на потпуно исти начин десетак пута ове недеље. Чини се да моје објашњење помаже већини ученика. Овај чланак има најопштије објашњење на врху, а најконкретније објашњење на дну. На овај начин можете почети од почетка и зауставити се чим осетите да довољно добро разумете рекурзију. Навео сам неколико примера на Јави, а они су довољно једноставни да их свако са неким искуством у програмирању може протумачити.

Шта је рекурзија?

Да бисмо разумели рекурзију, вратимо се корак уназад од програмирања. Почнимо са успостављањем опште дефиниције појма. Нешто је рекурзивно ако је донекле дефинисано сопственом дефиницијом. То вам вероватно не помаже много да разумете рекурзију, па погледајмо математичку дефиницију. Функције су вам познате - један број уђе, а други изађе. Изгледају овако:

ф (к) = 2к

Променимо ову идеју мало и уместо тога размислимо о низу. Низ узима цео број и излази цео број.

А (н) = 2н

Секвенце се могу сматрати функцијама са улазима и излазима који су ограничени само на позитивне цијеле бројеве. Генерално, секвенце почињу са 1. То значи да је А (0) 1. Горњи низ је следећи:

А (н) = 1, 2, 4, 6, 8, 10,… где је н = 0, 1, 2, 3, 4, 5,…

Сада узмите у обзир следећу секвенцу:

А (н) = 2 к А (н-1)

Ова секвенца је рекурзивно дефинисана. Другим речима, вредност било ког датог елемента зависи од вредности другог елемента. Ова секвенца изгледа овако:

А (н) = 1, 2, 4, 8, 16,… где је н = 0, 1, 2, 3, 4,…

Било који елемент је дефинисан као 2 пута већи од претходног елемента.

  • Н = 4 елемент, 16, дефинисан је као 2 пута већи од претходног елемента.
  • Н = 3 елемент, 8, дефинисан је као 2 пута већи од претходног елемента.
  • Н = 2 елемент, 4, дефинисан је као 2 пута већи од претходног елемента.
  • Н = 1 елемент, 2, дефинисан је као 2 пута већи од претходног елемента.
  • Н = 0 елемент, 1, дефинисан је као ...

Елемент н = 0 не може се рекурзивно дефинисати. Не постоји претходни елемент. Ово називамо основним случајем и нужна је последица рекурзивних дефиниција. Морају бити експлицитно представљени у вашем коду . Могли бисмо представити ову рекурзивну секвенцу на Јави овако:

public int A(int n){ if (n == 0) return 1; return 2 * A(n - 1);}

Требали бисте се упознати са анатомијом рекурзивне методе. Обратите пажњу на основни случај: ако је н 0, елемент је дефинисан као 1. У супротном, елемент је дефинисан као 2 пута већи од претходног елемента. Морамо рекурзивно позвати методу да бисмо добили вредност претходног елемента, а затим је помножити са 2. Све рекурзивне методе имаће ове две компоненте:

  • Основни случај, који враћа добро дефинисану вредност.
  • Рекурзивни случај, који враћа рекурзивно дефинисану вредност.

Направимо још један пример, настављајући са математичким контекстом. Фибоначијев низ се често користи за илустрацију рекурзије. Било који елемент Фибоначијеве секвенце је збир два претходна елемента. Иде овако:

Ф (н) = 1, 1, 2, 3, 5, 8,… где је н = 0, 1, 2, 3, 4, 5,…

  • Н = 5, елемент, 8, дефинисан је као збир н = 4 елемента и н = 3 елемента ...

У овом тренутку, требали бисте оклевати. У претходном примеру, сваки елемент је зависио само од једног другог елемента, сада сваки елемент зависи од два друга елемента. Ово компликује ствари.

  • Н = 4 елемент, 5, дефинисан је као збир н = 3 елемента и н = 2 елемента.
  • Н = 3 елемент, 3, дефинисан је као збир н = 2 елемента и н = 1 елемента.
  • Н = 2 елемент, 2, дефинисан је као збир н = 1 елемента и н = 0 елемента.
  • Н = 1 елемент, 1, дефинисан је као збир н = 0 елемента и ...

Елемент н = 1 не може се рекурзивно дефинисати. Нити елемент н = 0 не може. Ови елементи се не могу рекурзивно дефинисати јер рекурзивна дефиниција захтева два претходна елемента. Елемент н = 0 нема претходних елемената, а елемент н = 1 има само један претходни елемент. То значи да постоје два основна случаја. Пре него што напишем било који код, записао бих нешто овако:

Елемент н = 0 је дефинисан као 1. Елемент н = 1 је дефинисан као 1.

Н елемент је дефинисан као збир н-1 елемента и н-2 елемента.

Сада имамо идеју о томе како је овај задатак рекурзивно дефинисан и можемо да напишемо неки код. Никадзапочните писање кода, а да претходно нисте природно разумели задатак.

public int F(int n) if (n == 0 

Скуп позива

Као програмери, желимо да имамо интуицију за рекурзију како бисмо је могли користити за рад. Да бисмо то учинили ефикасно, морамо разумети како рачунар обрађује рекурзију.

Постоји структура података коју рачунар користи за праћење позива метода који се називају стек позива . Сваки позив методе креира локалне променљиве од параметара методе. Рачунар треба да чува ове променљиве док се метода извршава. Затим, рачунар уклања вредности када се метода врати да би избегао губљење меморије.

The call stack (and stacks in general) function as you might imagine some sort of real-life stack would. Imagine a stack of papers on your desk — it starts as nothing, and then you add papers one by one. You don’t know anything about any of the papers in the stack except for the paper on top. The only way you can remove papers from the stack is by taking them off the top, one-by-one, in the opposite order that they were added.

This is essentially how the call stack works, except the items in the stack are activation records instead of papers. Activation records are just little pieces of data that store the method name and parameter values.

Without recursion, the call stack is pretty simple. Here’s an example. If you had some code that looked like this…

public static void main(String[] args) System.out.println(myMethod(1));

…The call stack would look like this:

* myMethod(int a)
* main(String[] args)

Here we see two methods under execution, main and myMethod. The important thing to notice is that main cannot be removed from the stack until myMethod is removed from the stack. In other words, main cannot complete until myMethod is called, executed, and returns a value.

This is true for any case of method composition (a method within a method) — so let’s look at recursive example: the A(int n) method we wrote earlier. Your code might look like this:

public static void main(String[] args) System.out.println(A(4));
public static int A(int n){ if (n == 0) return 1; return 2 * A(n - 1);}

When main is called, A is called. When A is called, it calls itself. So the call stack will start building up like so:

* A(4)* main(String[] args)

A(4) calls A(3).

* A(3)* A(4)* main(String[] args)

Now, it’s important to note that A(4) cannot be removed from the call stack until A(3) is removed from the call stack first. This makes sense, because the value of A(4) depends on the value of A(3). The recursion carries on…

* A(0)* A(1)* A(2)* A(3)* A(4)* main(String[] args)

When A(0) is called, we have reached a base case. This means that the recursion is completed, and instead of making a recursive call, a value is returned. A(0) comes off the stack, and the rest of the calls are then able to come off the stack in succession until A(4) is finally able to return its value to main.

Here’s the intuition: the return value of any method call depends on the return value of another method call. Therefore, all the method calls must be stored in memory until a base case is reached. When the base case is reached, the values start becoming well-defined instead of recursively defined. For example, A(1) is recursively defined until it knows the definition of the base case, 1. Then, it is well-defined as 2 times 1.

When we are trying to solve problems with recursion, it is often more effective to think about the order in which values are returned. This is the opposite of the order in which calls are made. This order is more useful because it consists of well-defined values, instead of recursively defined values.

For this example, it is more useful to consider that A(0) returns 1, and then A(1) returns 2 times 1, and then A(2) returns 2 times A(1), and so on. However, when we are writing our code, it can easier to frame it in the reverse order (the order that the calls are made). This is another reason that I find it helpful to write the base case and the recursive case down before writing any code.

Helper Methods and Recursion vs. Loops

We are programmers, not mathematicians, so recursion is simply a tool. In fact, recursion is a relatively simple tool. It’s very similar to loops in that both loops and recursion induce repetition in the program.

You may have heard that any repetitive task can be done using either a while loop or a for loop. Some tasks lend themselves better to while loops and other tasks lend themselves better to for loops.

The same is true with this new tool, recursion. Any repetitive task can be accomplished with either a loop or recursion, but some tasks lend themselves better to loops and others lend themselves better to recursion.

When we use loops, it is sometimes necessary to make use of a local variable to “keep track” of a calculation. Here’s an example.

public double sum (double[] a){ double sum = 0.0; for (int i = 0; i < a.length; i++) sum += a[i]; return sum;
}

This method takes an array of doubles as a parameter and returns the sum of that array. It uses a local variable, sum, to keep track of the working sum. When the loop is completed, sum will hold the actual sum of all values in the array, and that value is returned. This method actually has two other local variables that are less obvious. There is the double array a, whose scope is the method, and the iterator i (keeps track of the index), whose scope is the for loop.

What if we wanted to accomplish this same task using recursion?

public double recursiveSum(double[] a) # recursively calculate sum

This task is repetitive, so it is possible to do it using recursion, though it is probably more elegantly accomplished using a loop. We just need to create a few local variables to keep track of the working sum and the index, right?

Alas, this is impossible. Local variables only exist in the context of a single method call, and recursion makes use of repeated method calls to accomplish a repetitive task. This means that local variables are pretty much useless when we are using recursion. If you are writing a recursive method and you feel as though you need a local variable, you probably need a helper method.

A helper method is a recursive method that makes use of additional parameters to keep track of values. For recursiveSum, our helper method might look like this:

public double recursiveSum(double[] a, double sum, int index){ if (index == a.length) return sum; sum += a[index]; return recursiveSum(a, sum, index + 1);}

This method builds the sum by passing the working value to a new method call with the next index. When there are no more values in the array, the working sum is the actual sum.

Now we have two methods. The “starter method,” and the helper method.

public double recursiveSum(double[] a) # recursively calculate sum
public double recursiveSum(double[] a, double sum, int index){ if (index == a.length) return sum; sum += a[index]; return recursiveSum(a, sum, index + 1);}

The term “helper method” is actually a bit of a misnomer. It turns out that the helper method does all the work, and the other method is just a starter. It simply calls the helper method with the initial values that start the recursion.

public double recursiveSum(double[] a) return recursiveSum(a, 0.0, 0);
public double recursiveSum(double[] a, double sum, int index){ if (index == a.length) return sum; sum += a[index]; return recursiveSum(a, sum, index + 1);}

Note that the values used in the starter call to the helper method are the same values used to initialize the local variables in the loop example. We initialize the variable used to keep track of the sum to 0.0, and we initialize the variable used to keep track of the index to 0.

Earlier, I said that local variables are useless in the context of recursion. This isn’t completely true, because the method parameters are indeed local variables. They work for recursion because new ones are created every time the method is called. When the recursion is executed, there are many method calls being stored in the call stack, and as a result there are many copies of the local variables.

You might ask, “If the helper method does all the work, why do we even need the starter method? Why don’t we just call the helper method with the initial values, and then you only need to write one method?”

Па, запамтите да смо покушавали да заменимо методу која је користила фор петљу. Та метода је била једноставна. Као параметар узео је низ, а зброј низа вратио као двоструки. Ако бисмо ову методу заменили оном која је узела три параметра, морали бисмо да се сетимо да је позовемо са одговарајућим почетним вредностима. Да је неко други желео да користи вашу методу, било би немогуће да није знао почетне вредности.

Из ових разлога има смисла додати још један метод који се брине о овим почетним вредностима за нас.

Окончање

Рекурзија је прилично изазован концепт, али успели сте све до краја мог објашњења. Надам се да мало боље разумете магију. Сада вам званично додељујем титулу „Велики чаробњак рекурзије“. Честитам!