Марсовска математика

Марсовска математика

Истражићемо бројевне системе решавајући једну од мојих омиљених загонетки.

Ви сте први истраживач на Марсу и открили сте математичку једначину уклесану у стену: 12 + 24 = 40. Колико су прсти имали Марсовци?

Волим ову загонетку јер вас тера да преиспитате целокупно разумевање бројева. Такође показује проблем у начину на који се математика учи у школи - уместо да подучавамо за темељно разумевање, ми смо научени како да положимо тест. Тако смо заглавили у плитком разумевању једноставних концепата попут бројева! Али доста проповеди, научимо нешто.

Концептуално, бројеви су само величине, али начин на који их представљамо може варирати. Типично представљамо бројеве у систему бројева основног броја 10. То значи да место сваке цифре у броју представља степен 10. То јест, број 123 представља 1 × 10³ + 2 × 10¹ + 3 × 10⁰. Међутим, могуће је користити систем бројева који се не заснива на моћима од 10. Тешко је замислити да живите у свету који користи систем бројева који није основни-10, али у стварности је начин представљања бројева потпуно произвољан! Па зашто користимо бројевни систем заснован на 10? Погађате - имамо 10 прстију!

Ево мале визуализације како функционише бројевни систем заснован на 10. Приметите да сваки пут када се једна колона попуни, додајемо још једну у следећу колону.

Лепота овог начина гледања на бројеве је у томе што се концепт величине осећа природно за све бројевне системе, а не само за базу-10. Па истражимо неке друге бројевне системе.

Рачунари представљају бројеве помоћу бинарног система који је основни систем бројева 2. То је исти концепт, осим што се пребацујете на следећу колону након што се попуни 9 тачака, већ након 1.

Програмери често представљају бројеве користећи хексадецимални број који је систем бројева базе-16. То раде зато што бинарни систем није баш компактан - потребне су 4 бинарне цифре само да би се представио број 16 - и зато што је 16 степен 2 који олакшава претварање између два бројевна система.

Будући да би било чудно да број попут 12 представља само једно цифрено место када га исписујемо, обично започињемо одбројавање абецеде након 9. То јест, А представља 10, Б представља 11, Ц представља 12 итд. .

А сада за нашу загонетку! Прво, погледајте да ли можете сами то да схватите. Ако желите, можете се и сами поиграти алатом за визуелизацију.

Већ сам вам дао велики наговештај - имамо систем бројева заснован на 10, јер имамо 10 прстију! Дакле, ако можемо да пронађемо систем бројева где ти симболи представљају бројеве који задовољавају једначину, онда смо решили загонетку.

Постоји непосреднији начин проналажења одговора, али искористимо само нашег доброг пријатеља „погоди и провери“. Будући да сваки Марсовац у свакој референци поп-културе има 6 прстију, хајде да покушамо.

Подсетимо се једначине за референцу: 12 + 24 = 40.

Као што видите, 8 је представљено као 12 у основном бројевном систему 6. То је зато што је 8 = 1 × ⁶¹ + 2 × ⁶⁰.

Овде можете видети да је 16 представљено као 23 у бројевном систему басе-6.

И на крају, 24 је представљено као 40у бројевном систему басе-6. Дакле, ако бисмо претворили ову једначину у систем бројева базе-10, имали бисмо 8 + 16 = 24. Дакле, ту је одговор на загонетку - Марсовци имају 6 прстију!

Тешко је разумети ову једначину јер смо тако научили да механички решавамо математичке задатке. Али ми заправо свакодневно користимо не-базне бројевне системе. Кладим се да вам ова једначина има смисла: 0:30 + 1:45 = 2:15. Време је савршен пример бројевног система који није база-10. А ако живите у САД-у и морате да користите наш грозни мерни систем, свуда ћете пронаћи чудне бројевне системе.

На крају, надам се да сте стекли овим чланком уважавање разлике између појмова попут величина и симболичких приказа које користимо за кодирање тих појмова. Такви суптилни концепти су много важнији од досадашњег сабирања два броја на папиру.

ПС Погледајте апарат! То је невероватан софтвер за креирање интерактивних дијаграма.

Ако сте заинтересовани за овакве ствари, можда ћете уживати у читању мог недељног билтена о свему што ми се чини занимљивим. Овде се можете претплатити.