Како решити систем линеарних једначина

Линеарна једначина је једначина која графички приказује линију. Систем линеарних једначина је када постоје две или више линеарних једначина груписаних заједно.

Да бисмо поједноставили илустрацију, размотрићемо системе две једначине. Као што и само име говори, постоје две непознате променљиве. Често су означени словима к и и . Ако једначине описују неки процес, слова се могу бирати према улогама које играју. На пример, д може значити удаљеност, а т време.

У овом чланку ћемо научити како да решавамо системе линеарних једначина помоћу две забавне методе. Али пре него што започнемо, хајде да видимо како ћемо завршити са одређеним системом гледајући пример из стварног живота.

Извођење система

Дечак се попне на бицикл и почне возити до школе. Сваког минута вози 200 метара.

6 минута касније, његова мајка схвата да је њен син заборавио ручак. Седе на свој бицикл и почиње да прати дечака. Сваког минута вози 500 јарди (Олимпијка је и освајач златне медаље).

Желимо да схватимо колико је потребно мајци да сустигне дечака и колико јој треба да се вози да би то учинила.

С обзиром да дечак пређе 200 јарди сваког минута, за т минута прећи ће 200 пута т јарди, односно 200т јарди.

Његова мајка почиње да вози бицикл 6 минута касније, па вози (т - 6) минута. С обзиром да пређе 500 јарди сваког минута, за (т - 6) минута пређе 500 пута (т - 6) јарди или 500 (т - 6) јарди.

Док га она сустиже, обоје су прешли исту удаљеност. Рецимо за сада да је удаљеност д .

За дечака имамо   д = 200т, а за његову мајку д = 500 (т - 6) . Сада имамо систем од две једначине.

Често се додаје коврџаста заграда која указује да једначине чине систем.

Сада да видимо како можемо да решимо овај систем.

Решавање супституцијом

Прва метода коју ћемо размотрити користи супституцију .

Овде имамо две непознанице, д и т . Идеја је да се ослободимо једне променљиве изражавањем помоћу друге променљиве.

Горња једначина нам говори да је д = 200т , па прикључимо 200т за д у доњој једначини. Као резултат, имамо једначину са само променљивом т .

Прво проширимо десну страну: 500 (т -6) = 500т - 500 * 6 = 500т - 3000 .

Затим поједностављујемо премештањем непознатих чланова на једну, а познатих чланова на другу страну. Резултат је: 500т - 200т = 3000 .

Решењем за т добијамо т = 10 , или пошто време меримо у минутима, т = 10 минута . Другим речима, мајка ће стићи сина за 10 минута.

Други део нашег проблема је да откријемо колико је морала да бициклира да би га сустигла.

Да бисмо одговорили на то питање, морамо пронаћи д . Заменом т = 10 у било којој једначини дат ћемо тај одговор.

Да бисте то олакшали, употребите горњу једначину, д = 200т = 200 * 10 = 2000 . Пошто меримо растојање у јарди, д = 2000 јарди .

Испробајмо ваше разумевање до сада - покушајте да сами решите следећи систем:

{

и = 2к

и = 3 (к - 1)

Изаберите 1 одговор


к = 3 и и = 6
к = 1 и и = 2
к = 6 и и = 3
к = 1/2 и и = 2/3
прихвати

У горњем систему непознате променљиве су к и и .

Из горње једначине знамо да је и = 2к . Заменом доње једначине добијамо 2 (2к) = 3 (к + 1) .

Једном када проширимо и поједноставимо, добијамо 4к = 3к + 3 . Или к = 3 . Према томе, и = 2 * 3 = 6 .

Решавање графичким приказом

Друга метода коју ћемо размотрити користи графички приказ ,где графичким проналажењем проналазимо решење за систем једначина.

На пример, узмимо овај систем: и = 2к + 3 и и = 9 - к .

Графикон сваке једначине биће линија. Прва за и = 2к + 3 изгледа овако:  

Даље, можемо графички приказати линију за и = 9 - к :  

Ове две праве се секу тачно у једној тачки. Ова тачка је једино решење за обе једначине:

Уређени пар (2, 7) даје нам координате наше тачке пресека. Овај пар је решење система. Заменом к = 2 и и = 7 потврдићемо ово.

Шта ако су графови паралелни и уопште се не секу? На пример:

Када се графови једначина не секу, то значи да наш систем нема решење. Покушај решавања супституцијом то ће доказати.

Резултат к - 1 = к - 3 биће 0 = -2 , што је увек нетачно .

Али шта ако су два графикона иста и налазе се директно један на другом?

У таквим случајевима постоји бесконачан број тачака пресека. То значи да наш систем има бесконачан број решења. Употреба методе супституције ће то доказати.

Резултат к - 2 = к - 2 је 0 = 0 , што је увек тачно .

Више вежбања

Покушајте да користите методе замене и графике да бисте решили следеће системе. Ове методе се међусобно допуњују и помоћи ће вам да учврстите своје знање.

{

и = 2

3и - 2к = 4

Изаберите 1 одговор


Систем нема решење
к = 1/2 и и = 1
к = 1 и и = 2
к = 0 и и = 2
прихвати

Избор одређене променљиве која ће се користити као замена требало би да олакша проналажење решења.

Покушајте да изразите к са још два члана у горњој једначини, а затим резултат замените доњом једначином. Тако ћете избећи бављење разломцима.

{

к + 5и = 7

3к - 2и = 4

Изаберите 1 одговор


к = 5 и и = 5/2
к = 1 и и = 2
к = 1 и и = 1
к = 2 и и = 1
прихвати

Направимо још један изазов:

{

-6к - 8и = 4

и = -к - 1

Изаберите 1 одговор


к = -2 и и = 1
Бесконачан број решења
к = 2 и и = -1
к = -1/6 и и = 6
прихвати

Сада када знате довољно о ​​замени и графикону, изађите тамо и решите више линеарних једначина.